⇒マウスによって、LEDランプの位置/色に違いがあります。
例えば、底面のセンサー部分は、消灯しているように見えるのが正常な状態（非可視光線）のものがあったりLEDランプは、常時点灯するものと、一定時間点灯→消灯するものがあります。
必ずしも、光らない＝電源がONになっていない、というわけではありません。
お手元のマウスが、電源ON時に、どこが光る仕様なのかをご確認ください。
以下リンクにアクセスして、お手元のマウスの型番を入力後、マニュアルをご参照ください。
マウスのマニュアル検索

⇒電池切れまたは電池の向きに誤りがある可能性があります。
電池を交換してどうか/電池の向きに誤りがないかをご確認ください。

製品付属の電池は、動作確認用のため、数日程度で電池残量が無くなる場合があります。
電池交換方法/電池を入れる向きが分からない場合は上の「マウスのマニュアル検索」にアクセスして、お手元のマウスの型番を入力後、マニュアルをご参照ください。

⇒電池収納部内の接点を清掃することで、改善が見られる可能性があります。
柔らかい布などで、軽く拭き上げてどうかご確認ください。

それぞれ確認して改善が見られない場合は、マウスの故障判断となります。

以下のリンクをご参照ください。